Hijo de una familia típicamente huilense como su apellido lo indica, hospitalaria, laboriosa, culta, católica practicante, sencilla, generosa, de trato afable y festivo que, por motivo de la violencia de los años 1947 y 1948, se trasladó de Neiva al sur del departamento del Huila, concretamente a San Agustín. Nació el 26 de abril de 1948 en la familia constituida por don Jesús Arsenio Polanía Castañeda, hombre de costumbres patriarcales, sencillo, cordial, trabajador, austero, culto, cumplidor de su deber, y doña Saturia Ramírez Sáenz, mujer piadosa, firme de carácter, inteligente, laboriosa, serena, amable y muy alegre. Fue educado en el seno de una familia cristiana de buenas costumbres, en un pueblo apacible y en la sencillez rústica del campo. De este hogar nacieron siete hermanos, cuatro mujeres y tres hombres. El sustento de la familia fue el fruto del trabajo de una finca en el campo y un granero que, como dato curioso, se llamaba Rerum Novarum.
Con motivo de la coronación de la Virgen de Chiquinquirá en el año de 1919, los frailes dominicos realizaron una gran misión en el Huila y entre los predicadores estaban fr. Francisco Mora Díaz y fr. Andrés Mesanza Osaeta, quien se hizo muy amigo de la familia paterna. La familia viajaba a Chiquinquirá a visitar tanto a la Virgen como a fr. Andrés; el viaje se realizaba en tren desde Neiva –Bogotá– Chiquinquirá y en diciembre, rezaba la novena de navidad y la de la Virgen de Chiquinquirá. Fr. Tiberio realizó sus estudios de primaria en la Escuela y en el Colegio de la Presentación, lugar donde fue acolito. Desde niño le gustó el servicio del altar, desempeñando funciones específicas en la celebración de la eucaristía, es así que la hermana San Dámaso lo preparó con mucho entusiasmo y de forma rápida para recibir el sacramento de la eucaristía y así ser monaguillo del colegio.